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Des öfteren ging es durch die Medien: Ein Blatt Papier kann man höchstens 8 mal falten, öfter ist nicht möglich! Ein guter Wissenschaftler fragt aber immer nach dem Warum? und will die Ursache dafür herausfinden.
Um zu verstehen, warum es überhaupt eine obere Grenze für das Falten von Papier gibt, möchten wir uns einfach einmal überlegen, wie ein gefaltetes Stück Papier im Querschnitt aussieht:
Uns interessiert, ob man ein Stück Papier x mal falten kann. Unser Stapel Papier hat die Dicke oder Höhe h. Der Wert von h in Abhängigkeit von der Papierdicke d und der Anzahl der Faltungen x ist nach der folgenden Formel gegeben:
Wie sich die Breite mit dem Falten ändert ist da schon etwas kompilizierter. Das hängt von den Abmessungen des Papiers an. Von den Besonderheiten der Seitenverhältnisse bei A4 und weiteren Zusammenhängen handelt der Anhang dieser Seite. Wir sagen einfach, dass das Papier nach zweimaligem Falten nur noch halbsobreit (und natürlich halbsohoch) ist. Die Fläche ist nach jedem Falten nur noch die Hälfte. Wir möchten aber nicht Höhe und Breite des Papiers extra betrachten. Daher schreiben wir die folgende 'Spezialformel' wo die Breite nach zweimaligem Falten auch nur die Hälfte beträgt, aber auch nach einmal Falten schon abnimmt:
Hierbei ist b0 die Anfangsbreite unseres Papieres. Jetzt bleibt noch die Frage, wieviel Papierbreite an der Rundung verlorengeht. Denn die Aussenkante a wird mit jedem Falten länger. Die Länge der Aussenkante a ist gegeben durch die Formel:
Damit man das Papier noch einmal falten kann, muß es breiter sein als die neue Aussenkante a lang wäre. Offensichtlich muss also gelten:
Expilzit heißt das:
Nun wenden wir auf beide Seiten noch den dekadischen Logarithmus an und formen etwas um. Damit erhalten wir als obere Grenze für die Anzahl der Faltungen x:
Hier brauchen wir nur noch einige Werte für Papierbreite b0 und Papierdicke d einsetzen. Mit dem Taschenrechner erhalten wir einen Maximalwert für x. Suchen wir uns also zunächst ein paar übliche Werte und setzen diese ein. Danach werden wir der Frage nachgehen, warum man von der 'magischen Grenze' von x = 8 Faltungen spricht.
Die Papierdicke variiert je nach Einsatzbereich - jedoch in einem nicht all zu großen Bereich:
| Papier | Dicke | Dicke in Å |
| FotoGlossy 220 g/m² | 288 µm | 2 880 000 |
| Kopierpapier 90 g/m² | 118 µm | 1 180 000 |
| Zeitung | 52 µm | 520 000 |
| Bibelpapier | 24 µm | 240 000 |
| Atomschicht | 0,0001 µm | 1 |
Hierbei steht 1 Å für ein Angström, das entspicht einer Länge von 10-10 Metern - dem ungefähren Durchmesser eines Atoms. Die Angabe in Angström ist also ein Maß für die Anzahl der übereinanderliegenden Atome.
Diese Papierdicken habe ich nun in Beziehung zu einigen Breiten bzw. Entfernungen gesetzt. Das dünnste (theoretische) Papier ist nur eine Atomlage dick. Mechanisch handhabbar sind heute Folien mit circa 200 Atomlagen. Auf einem Substrat lassen sich mit MBE (Molecular Beam Epitaxy) Schichten mit nur 5 bis 7 Atomen Dicke herstellen. Mit anderen Technologien sind auch Monolayer möglich. In den letzten 4 Spalten steht die Anzahl maximal möglicher Faltungen.
| Papiergröße | Breite | d=118µm | d=52µm | d=24µm | d=1Å |
| A4 | 29,7 cm | 6 | 7 | 8 | 20 |
| Zeitung | 1 m | 7 | 8 | 9 | 21 |
| Fußballfeld | 100 m | 12 | 12 | 13 | 25 |
| Erdscheibe | 12 742 000 m | 23 | 24 | 24 | 36 |
| Umlaufbahn Sonne/Erde | 149 503 000 000 m | 32 | 33 | 33 | 45 |
| Milchstraße | 943 482 840 421 000 000 000 m | 54 | 54 | 55 | 67 |
| Universum | 141 522 426 063 000 000 000 000 000 m | 65 | 66 | 67 | 79 |
Wie wir sehen, haben die meisten von uns einfach nicht das richtige Papier in der Hand gehabt, als sie überprüft haben, ob man ein Blatt auch öfter als 8 mal falten kann: Entweder war es zu dick oder einfach zu klein :-)
Zum Vergleich können wir noch eine Papierrolle heranziehen, wie sie im Offsetdruck verwendet wird. Diese Rollen haben einen Durchmesser von 1,25 Metern, wiegen fast eine Tonne, sind 18 Kilometer lang und 1,26 Meter breit. Damit sind ca. 10000 Lagen Papier mit 40 g/m² übereinandergewickelt. Das entspricht dem Extremfall eines langen, sehr schmalen Stückes Papier. Die Anzahl der Lagen entspricht damit etwa 14 Faltungen, auch wenn - speziell im Kern - die Restpapierbreite bei ungefähr null liegt.
Wie die Tabelle außerdem zeigt, kann man "ein Blatt Papier" realistisch nur 79mal falten. Wenn man noch einmal 53 Milliarden Jahre wartet, dann wäre auch 80mal möglich, da sich unser Universium dann so weit ausgedehnt hätte, daß die Querschnittsfläche 10mal so groß wie heute wäre.
Schauen wir uns noch einmal die Formel an. Die Anzahl der Faltungen x hängt vom Quotienten aus Papierbreite und -dicke ab. Dieser Zusammenhang ist allerdings logarithmisch!
Normalerweise haben wir Zeitungspapier oder Kopierpapier - zwischen 50 und 100 µm Dicke. Der Unterschied zeigt sich im Faktor zwei. Der Faktor beim Papierdurchmesser zwischen A4 und Zeitung beträgt 3. Miteinander multipliziert erhält man 6. Der Logarithmus von 6 ist kleiner als eins. Innerhalb der Dimensionen des Papiers des 'täglichen Bedarfs' variiert deshalb die Maximalanzahl nur unwesentlich.
Hinweis: Logarithmus - bedeutet, dass zehn mal mehr x nur um eins erhöht.
Grafische Darstellung
A4-Papier: Verhältnis lange Seite c zur kurzen Seite b nach Falten wie b zu ein halb c. Als Formel ergibt sich: c durch b ist zwei b zu c, also 2b²=c² oder Wurzel 2 b ist gleich c. In rationalen Zahlen: die lange seite ist 1,41 (wurzel2) mal länger als die kurze Seite. Nach ein mal falten ist Diagonale wurzel 2 kürzer, nach zwei mal falten wurzel 2 quadrat, also halbsolang.
Andere Papierdimensionen: quadtratisch, bei geraden faltungszahlen stimmt der Zusammenhang wieder. Weiterer Extremwert: schmaler langer Streifen. dann diagonale gleich länge, aus dem faktor 2/3 wird eins. Aber ob das noch Papier ist? Rolle Papier wäre ein "Faltungsextrem" - siehe Absatz oben mit den Daten einer Papierrolle von 18 km Länge.
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